Was ist eine Gleichung?
Eine Gleichung ist eine mathematische Aussage, die besagt, dass zwei Ausdruecke den gleichen Wert haben. Das Gleichheitszeichen (=) trennt die linke und rechte Seite.
Beispiele:
- 3 + 4 = 7 (wahre Aussage)
- x + 5 = 12 (Gleichung mit Unbekannter)
- 2x - 3 = x + 4 (lineare Gleichung)
Das Ziel: Den Wert der Unbekannten (meist x) finden, fuer den die Gleichung stimmt.
Beispiele:
- 3 + 4 = 7 (wahre Aussage)
- x + 5 = 12 (Gleichung mit Unbekannter)
- 2x - 3 = x + 4 (lineare Gleichung)
Das Ziel: Den Wert der Unbekannten (meist x) finden, fuer den die Gleichung stimmt.
Aequivalenzumformung
Die Aequivalenzumformung ist die wichtigste Technik zum Loesen von Gleichungen. Die Grundregel:
Was du auf einer Seite machst, musst du auch auf der anderen Seite machen!
Erlaubte Umformungen:
- Auf beiden Seiten die gleiche Zahl addieren (+)
- Auf beiden Seiten die gleiche Zahl subtrahieren (-)
- Beide Seiten mit der gleichen Zahl multiplizieren (x)
- Beide Seiten durch die gleiche Zahl dividieren (:) - aber nie durch 0!
Ziel: x alleine auf einer Seite stehen haben.
Was du auf einer Seite machst, musst du auch auf der anderen Seite machen!
Erlaubte Umformungen:
- Auf beiden Seiten die gleiche Zahl addieren (+)
- Auf beiden Seiten die gleiche Zahl subtrahieren (-)
- Beide Seiten mit der gleichen Zahl multiplizieren (x)
- Beide Seiten durch die gleiche Zahl dividieren (:) - aber nie durch 0!
Ziel: x alleine auf einer Seite stehen haben.
Einfache Gleichungen loesen
Strategie: Bringe x auf eine Seite und die Zahlen auf die andere.
Schritt 1: Vereinfache beide Seiten (falls noetig)
Schritt 2: Bringe alle x-Terme auf eine Seite (z.B. links)
Schritt 3: Bringe alle Zahlen auf die andere Seite (z.B. rechts)
Schritt 4: Teile durch den Koeffizienten von x
Schritt 1: Vereinfache beide Seiten (falls noetig)
Schritt 2: Bringe alle x-Terme auf eine Seite (z.B. links)
Schritt 3: Bringe alle Zahlen auf die andere Seite (z.B. rechts)
Schritt 4: Teile durch den Koeffizienten von x
Beispiel 1: x + 7 = 15
x + 7 = 15 | -7 (auf beiden Seiten 7 subtrahieren)
x = 15 - 7
x = 8
Probe: 8 + 7 = 15 ✓
x = 15 - 7
x = 8
Probe: 8 + 7 = 15 ✓
Beispiel 2: 3x - 4 = 11
3x - 4 = 11 | +4
3x = 11 + 4
3x = 15 | :3
x = 15 / 3
x = 5
Probe: 3 x 5 - 4 = 15 - 4 = 11 ✓
3x = 11 + 4
3x = 15 | :3
x = 15 / 3
x = 5
Probe: 3 x 5 - 4 = 15 - 4 = 11 ✓
Beispiel 3: 5x + 3 = 2x + 18
5x + 3 = 2x + 18 | -2x (x-Terme nach links)
3x + 3 = 18 | -3 (Zahlen nach rechts)
3x = 15 | :3
x = 5
Probe: 5 x 5 + 3 = 28 und 2 x 5 + 18 = 28 ✓
3x + 3 = 18 | -3 (Zahlen nach rechts)
3x = 15 | :3
x = 5
Probe: 5 x 5 + 3 = 28 und 2 x 5 + 18 = 28 ✓
Beispiel 4: 4(x - 2) = 2(x + 3)
4(x - 2) = 2(x + 3) | Klammern aufloesen
4x - 8 = 2x + 6 | -2x
2x - 8 = 6 | +8
2x = 14 | :2
x = 7
Probe: 4(7 - 2) = 4 x 5 = 20 und 2(7 + 3) = 2 x 10 = 20 ✓
4x - 8 = 2x + 6 | -2x
2x - 8 = 6 | +8
2x = 14 | :2
x = 7
Probe: 4(7 - 2) = 4 x 5 = 20 und 2(7 + 3) = 2 x 10 = 20 ✓
Besondere Faelle
Manchmal passiert beim Loesen etwas Unerwartetes:
Fall 1: 0 = 0 (z.B. bei 2x + 4 = 2(x + 2))
Die Gleichung ist fuer ALLE x wahr. Es gibt unendlich viele Loesungen.
Fall 2: 0 = 5 (z.B. bei x + 3 = x + 8)
Die Gleichung ist fuer KEIN x wahr. Es gibt keine Loesung.
Fall 3: Normaler Fall
Es gibt genau eine Loesung (das ist der haeufigste Fall bei linearen Gleichungen).
Fall 1: 0 = 0 (z.B. bei 2x + 4 = 2(x + 2))
Die Gleichung ist fuer ALLE x wahr. Es gibt unendlich viele Loesungen.
Fall 2: 0 = 5 (z.B. bei x + 3 = x + 8)
Die Gleichung ist fuer KEIN x wahr. Es gibt keine Loesung.
Fall 3: Normaler Fall
Es gibt genau eine Loesung (das ist der haeufigste Fall bei linearen Gleichungen).
Die Probe - Immer ueberpruefen!
Nach dem Loesen solltest du IMMER eine Probe machen:
1. Setze dein Ergebnis fuer x in die URSPRUENGLICHE Gleichung ein
2. Berechne beide Seiten getrennt
3. Wenn beide Seiten gleich sind: Deine Loesung stimmt!
Die Probe dauert nur wenige Sekunden und schuetzt dich vor Fluechtigkeitsfehlern.
1. Setze dein Ergebnis fuer x in die URSPRUENGLICHE Gleichung ein
2. Berechne beide Seiten getrennt
3. Wenn beide Seiten gleich sind: Deine Loesung stimmt!
Die Probe dauert nur wenige Sekunden und schuetzt dich vor Fluechtigkeitsfehlern.
Tipps zum Gleichungen loesen
1. Schreibe jeden Schritt sauber untereinander
2. Notiere die Umformung am Rand (z.B. "| +5")
3. Mache immer die Probe!
4. Bei Klammern: Erst ausmultiplizieren
5. Bei Bruechen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren
6. Uebe viel - Gleichungen loesen ist wie Fahrradfahren: Es wird mit der Zeit automatisch!
2. Notiere die Umformung am Rand (z.B. "| +5")
3. Mache immer die Probe!
4. Bei Klammern: Erst ausmultiplizieren
5. Bei Bruechen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren
6. Uebe viel - Gleichungen loesen ist wie Fahrradfahren: Es wird mit der Zeit automatisch!