Was ist ein Term?
Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Ausdruck. Er kann aus Zahlen, Variablen (Buchstaben) und Rechenzeichen bestehen.
Beispiele fuer Terme:
- 5 (nur eine Zahl)
- x (nur eine Variable)
- 3x + 7 (Variable mit Zahl und Addition)
- 2a - 4b + 1 (mehrere Variablen)
- (x + 3) x (x - 2) (Produkt zweier Klammern)
KEIN Term: 3 + = 7 (unvollstaendig), : 0 (nicht definiert)
Beispiele fuer Terme:
- 5 (nur eine Zahl)
- x (nur eine Variable)
- 3x + 7 (Variable mit Zahl und Addition)
- 2a - 4b + 1 (mehrere Variablen)
- (x + 3) x (x - 2) (Produkt zweier Klammern)
KEIN Term: 3 + = 7 (unvollstaendig), : 0 (nicht definiert)
Was sind Variablen?
Variablen sind Platzhalter fuer Zahlen. Sie werden meist mit Buchstaben dargestellt (x, y, a, b, n...).
Warum Variablen?
- Um allgemeine Regeln aufzuschreiben (z.B. a + b = b + a)
- Um Unbekannte darzustellen (z.B. x + 3 = 7, was ist x?)
- Um Formeln zu schreiben (z.B. A = a x b fuer die Rechteckflaeche)
Wichtig: Eine Variable steht fuer eine bestimmte Zahl - wir wissen nur (noch) nicht welche!
Schreibweise: 3x bedeutet "3 mal x". Das Malzeichen wird weggelassen!
2ab bedeutet "2 mal a mal b".
Warum Variablen?
- Um allgemeine Regeln aufzuschreiben (z.B. a + b = b + a)
- Um Unbekannte darzustellen (z.B. x + 3 = 7, was ist x?)
- Um Formeln zu schreiben (z.B. A = a x b fuer die Rechteckflaeche)
Wichtig: Eine Variable steht fuer eine bestimmte Zahl - wir wissen nur (noch) nicht welche!
Schreibweise: 3x bedeutet "3 mal x". Das Malzeichen wird weggelassen!
2ab bedeutet "2 mal a mal b".
Termwert berechnen
Den Wert eines Terms berechnen heisst: Die Variable durch eine Zahl ersetzen und ausrechnen.
Man sagt: "Setze x = 3 in den Term ein" oder "Berechne den Termwert fuer x = 3".
Man sagt: "Setze x = 3 in den Term ein" oder "Berechne den Termwert fuer x = 3".
Beispiel: Termwert berechnen
Term: 2x + 5
Fuer x = 3: 2 x 3 + 5 = 6 + 5 = 11
Fuer x = 0: 2 x 0 + 5 = 0 + 5 = 5
Fuer x = -2: 2 x (-2) + 5 = -4 + 5 = 1
Term: x² - 3x + 1
Fuer x = 4: 4² - 3 x 4 + 1 = 16 - 12 + 1 = 5
Fuer x = 1: 1² - 3 x 1 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1
Fuer x = 3: 2 x 3 + 5 = 6 + 5 = 11
Fuer x = 0: 2 x 0 + 5 = 0 + 5 = 5
Fuer x = -2: 2 x (-2) + 5 = -4 + 5 = 1
Term: x² - 3x + 1
Fuer x = 4: 4² - 3 x 4 + 1 = 16 - 12 + 1 = 5
Fuer x = 1: 1² - 3 x 1 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1
Terme zusammenfassen
Gleichartige Terme (gleiche Variable mit gleichem Exponenten) kannst du zusammenfassen:
Regel: Nur gleiche Variablen-Teile duerfen zusammengefasst werden!
3x + 5x = 8x (gleiche Variable x)
4a - 2a = 2a (gleiche Variable a)
3x + 2y: NICHT zusammenfassbar (verschiedene Variablen)
2x + 3x² : NICHT zusammenfassbar (verschiedene Exponenten)
Denke an Aepfel und Birnen: 3 Aepfel + 5 Aepfel = 8 Aepfel, aber 3 Aepfel + 2 Birnen kann man nicht zusammenfassen!
Regel: Nur gleiche Variablen-Teile duerfen zusammengefasst werden!
3x + 5x = 8x (gleiche Variable x)
4a - 2a = 2a (gleiche Variable a)
3x + 2y: NICHT zusammenfassbar (verschiedene Variablen)
2x + 3x² : NICHT zusammenfassbar (verschiedene Exponenten)
Denke an Aepfel und Birnen: 3 Aepfel + 5 Aepfel = 8 Aepfel, aber 3 Aepfel + 2 Birnen kann man nicht zusammenfassen!
Beispiel: Zusammenfassen
5x + 3y - 2x + 7y
= (5x - 2x) + (3y + 7y)
= 3x + 10y
4a² + 3a - 2a² + 5a - 1
= (4a² - 2a²) + (3a + 5a) - 1
= 2a² + 8a - 1
2x + 3 + 4x - 7
= (2x + 4x) + (3 - 7)
= 6x - 4
= (5x - 2x) + (3y + 7y)
= 3x + 10y
4a² + 3a - 2a² + 5a - 1
= (4a² - 2a²) + (3a + 5a) - 1
= 2a² + 8a - 1
2x + 3 + 4x - 7
= (2x + 4x) + (3 - 7)
= 6x - 4
Ausmultiplizieren (Distributivgesetz)
Wenn ein Faktor vor einer Klammer steht, multiplizierst du ihn mit jedem Glied in der Klammer:
Regel: a x (b + c) = a x b + a x c
Das nennt man das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz).
Achtung bei Minus vor der Klammer:
-(a + b) = -a - b (alle Vorzeichen drehen sich um!)
-(a - b) = -a + b
Regel: a x (b + c) = a x b + a x c
Das nennt man das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz).
Achtung bei Minus vor der Klammer:
-(a + b) = -a - b (alle Vorzeichen drehen sich um!)
-(a - b) = -a + b
Beispiel: Ausmultiplizieren
3(x + 4) = 3x + 12
5(2a - 3) = 10a - 15
-2(x - 7) = -2x + 14
x(x + 3) = x² + 3x
(x + 2)(x + 5):
= x x x + x x 5 + 2 x x + 2 x 5
= x² + 5x + 2x + 10
= x² + 7x + 10
5(2a - 3) = 10a - 15
-2(x - 7) = -2x + 14
x(x + 3) = x² + 3x
(x + 2)(x + 5):
= x x x + x x 5 + 2 x x + 2 x 5
= x² + 5x + 2x + 10
= x² + 7x + 10
Ausklammern (Faktorisieren)
Ausklammern ist das Gegenteil von Ausmultiplizieren. Du suchst einen gemeinsamen Faktor und schreibst ihn vor die Klammer.
Methode:
1. Finde den groessten gemeinsamen Faktor aller Glieder
2. Schreibe ihn vor die Klammer
3. In der Klammer steht, was uebrig bleibt
Beispiel: 6x + 9 = 3(2x + 3) (gemeinsamer Faktor: 3)
Methode:
1. Finde den groessten gemeinsamen Faktor aller Glieder
2. Schreibe ihn vor die Klammer
3. In der Klammer steht, was uebrig bleibt
Beispiel: 6x + 9 = 3(2x + 3) (gemeinsamer Faktor: 3)
Beispiel: Ausklammern
4x + 8 = 4(x + 2)
6a - 15 = 3(2a - 5)
x² + 5x = x(x + 5)
12a² - 8a = 4a(3a - 2)
6a - 15 = 3(2a - 5)
x² + 5x = x(x + 5)
12a² - 8a = 4a(3a - 2)
Tipps zu Termen
1. Schreibweise: 3x statt 3 x x, 1x = x, 0x = 0
2. Vorzeichen gehoeren zur Zahl davor: 5x - 3y + 2x = (5x + 2x) + (-3y) = 7x - 3y
3. Beim Ausmultiplizieren: Jeden Term in der Klammer mit dem Faktor multiplizieren!
4. Minus vor der Klammer: Alle Vorzeichen in der Klammer umdrehen!
5. Immer am Ende pruefen: Kann ich noch weiter zusammenfassen?
6. Uebung macht den Meister - rechne viele Aufgaben!
2. Vorzeichen gehoeren zur Zahl davor: 5x - 3y + 2x = (5x + 2x) + (-3y) = 7x - 3y
3. Beim Ausmultiplizieren: Jeden Term in der Klammer mit dem Faktor multiplizieren!
4. Minus vor der Klammer: Alle Vorzeichen in der Klammer umdrehen!
5. Immer am Ende pruefen: Kann ich noch weiter zusammenfassen?
6. Uebung macht den Meister - rechne viele Aufgaben!